Studio di funzione esponenziale – Esercizio 3

Studiare la seguente funzione esponenziale (studio di funzione esponenziale):

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta e anche esponenziale. Per i fatto che è una funzione fratta, dobbiamo imporre che il denominatore della frazione sia diverso da zero:

Il numeratore non pone problemi per il dominio in quanto è un esponenziale sommato ad un valore numerico. Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare leintersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

Questa ultima equazione non è risolvibile in quanto un’ esponenziale non può essere mai un valore negativo, ovvero non può esistere nessun valore che sostituito alla variabile x fa diventare una potenza un valore negativo. Concludiamo quindi che non ci sono intersezioni con l’asse x.

Asse y

Dovremmo risolvere questo sistema per sostituzione sostituendo al posto della x della seconda equazione il valore 0. Non procediamo e non facciamo questa operazione perchè sappiamo che il valore 0 non appartiene al dominio. Se procedessimo infatti troveremmo un denominatore nullo. Concludiamo che non ci sono intersezioni con l’asse y.

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

Essendo una frazione troviamo il segno del numeratore, poi quello del denominatore e infine effettuiamo il prodotto dei segni:

Il numeratore è sempre positivo (un esponenziale positivo sommato ad un numero positivo non può che essere un numero positivo!)

La funzione è quindi negativa per i valori precedenti allo zero e positiva per quelli successivi:

 

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

Un numero fratto infinito nella teoria dei limiti è 0 quindi:

2 Limite

Un numero fratto zero nella teoria dei limiti è \infty quindi:

3 Limite

4 Limite

che è una forma indeterminata. Per risolvere l’indeterminatezza di questa forma ricordiamo che l’esponenziale tende all’infinito più velocemente di una potenza quindi il limite è infinito in quanto il denominatore è “più veloce” del denominatore.

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

Quindi la retta è asintoto orizzontale.

E’ presente anche un asintoto verticale in quanto:

Quindi la retta è asintoto verticale.

Potrebbe anche essere presente un asintoto obliquo perchè un limite per x che tende ad infinito è uguale ad infinito:

Controlliamo la presenza dell’asintoto obliquo:

Poichè il coeffiente angolare della retta dell’asintoto obliquo non è individuabile concludiamo che non è presente.

Derivata 1

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni fratte:

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