Funzione razionale fratta Esercizio

gpalmieri

5 anni fa

Studiare la seguente funzione razionale fratta (studio di funzione fratta):

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta per questo dobbiamo escludere tutti i valori che annullano il denominatore in quanto una frazione non può avere un denominatore uguale a zero. Ciò corrisponde a questa espressione:

Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

Ci sono quindi due intersezioni:

Asse y

E’ presente un punto di intersezione con l’asse y: (funzione razionale fratta esercizio).

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

Essendo una frazione troviamo il segno del numeratore, poi quello del denominatore e infine effettuiamo il prodotto dei segni.

Effettuiamo ora il prodotto dei segni per capire il segno della funzione:

Insieme di positività (quando la funzione è positiva):

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

Questa è una forma indeterminata. Poichè sia al numeratore che al denominatore compaiono due polinomi possiamo mettere in evidenza il termine con grado maggiore:

Semplificando il tutto scopriamo che:

2 Limite

3 Limite

4 Limite

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto vertuicale in quanto:

Poichè abbiamo dei limiti che per x che tende ad infinito hanno come valore infinito è possibile che sia presente un asintoto obliquo. Verifichiamo la sua esistenza ricordando che una generica retta ha come equazione nel piano .