Disequazioni di secondo grado fratte – Esercizi

Le disequazioni di secondo grado fratte si presentano nella forma:

$\frac{N(x)}{D(x)} > 0$ oppure $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$

dove N(x) e D(x) sono due polinomi di cui almeno uno è di secondo grado.

Per risolvere questo tipo di disequazioni è necessario portare la disequazione in una delle forme viste precedentemente e studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore. Al termine dello studio bisogna effettuare il prodotto dei segni e individuare gli intervalli di soluzione. Vediamo un esempio per comprendere meglio il processo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado fratte:

Esempio

Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{x}{x-1}+\frac{x-3}{x^2-1} > 0$

Come prima cosa notiamo che la disequazione non è in forma normale. Procediamo compiendo i passi necessari per portarla e studiarla.

1. Scomposizione dei denominatori

Tutti i denominatori vanno scomposti per calcolare correttamente il mcm fra essi. Nel nostro caso il primo denominatore ( $x-1$ ) non può essere ulteriormente scomposto mentre il secondo è scomponibile:

$x^2-1 = (x+1)(x-1)$ (regola della differenza di due quadrati)

Dopo aver scomposto i denominatori la disequazione sarà la seguente:

$\frac{x}{x-1}+\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} > 0$

2. Calcolo del mcm fra i vari denominatori

Possiamo ora individuare il minimo comune multiplo fra i denominatori. I vari fattori sono: $(x-1) , (x-1), (x+1)$ . Secondo la regola dobbiamo predendere tutti i fattori una sola volta con l’esponente maggiore. Quindi la disequazione divente la seguente:

$\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} > 0$

3. Semplificazione numeratore e denominatore

$\frac{x(x+1)+(x-3)}{(x+1)(x-1)} > 0$

$\frac{x^2+x+x-3}{(x+1)(x-1)} > 0$

$\frac{x^2+2x-3}{(x+1)(x-1)} > 0$

4. Studio del segno di numeratore e denominatore

Per studiare il segno conviene sempre studiare sempre la diguaglianza $N(x) > 0$ e $D(x) > 0$ ovverso è utile vedere quando il numeratore e il denominatore sono positivi