Divisione polinomi

Un polinomio A si dice divisibile per un polinomio (non nullo), se esiste un polinomio che, moltiplicato per , dà come risultato :

si dice quoziente della divisione

Facciamo un esempio per meglio comprendere questa regola. Supponiamo di avere i seguenti polinomi:

Il risultato della divisione è perchè:

ovvero

Affinchè un polinomio possa essere divisibile per un altro polinomio è necessario che sia di grado uguale o maggiore. Il polinomio non sarà quindi certamente divisibile per il polinomio .

Divisione fra polinomio e monomio

Un caso particolare di divisione è quella fra polinomi e monomi. Vediamo un esempio

Per effettuare questa divisione è necessario dividere ogni termine del polinomio per il monomio:

Il risultato finale sarà quindi:

Divisione fra due polinomi

Dati due polinomi A e B esistono sempre due polinomi Q e R (e sono unici) tali che

Per dividere i polinomi è necessario che abbiano la stessa variabile letterale. Consideriamo la seguente divisione:

Passo 1

Ordinare tutte le lettere con grado decrescente:

Il polinomio risulterà essere:

Controllare la completezza del polinomio. In questo caso manca il termine di x con esponente pari ad 1:

Il polinomio da dividere sarà quindi:

Passo 2

Per prima cosa dividiamo il termine di grado maggiore del dividendo per quello di grado maggiore del divisore:

Passo 3

In seguito moltiplichiamo il risultato per il divisore e cambiamo i segni:

Passo 4

Procediamo ora nello stesso modo reiterando i passaggi:

Regola di Ruffini

E’ possibile semplificare l’algoritmo della divisione nel caso in cui il divisore sia del tipo dove rappresenta un numero reale qualsiasi. Vediamo passo per passo come dividere due polinomi con la regola di Ruffini:

Disponiamo tutti i coefficienti del polinomio dividendo completando con 0 laddove mancano i termini di un certo grado. Nell’esercizio manca il coefficiente numerico di grado 3 e quindi consideriamo il termine .

Passo 1

Abbassiamo il primo termine copiandolo al fondo della tabella:

Passo 2

Effettuiamo la moltiplicazione del numero per il coefficiente e riportiamo il risultato in tabella come indicato:

Passo 3

Effettuiamo l’operazione di addizione fra i termini  in corrispondenza:

Passo 4

Proseguiamo nello stesso modo reiterando i passaggi:

Passo finale

Al termine delle operazioni l’ultimo numero che rimane in tabella è il resto della divisione. Per ottenere invece il quoziente utilizziamo i coefficienti in tabella e associamo la parte letterale partendo dal grado del polinomio originale meno uno. In questo caso poichè il grado era 4 partiamo dal grado 3.

Il risultato sarà quindi:

e il resto

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