Prodotti notevoli

Alcune tipologie di moltiplicazioni fra polinomi sono dette prodotti notevoli. Questo perchè possono essere svolte molto rapidamente senza effettuare la classica operazione di moltiplicazione termine per termine. Per effettuare queste moltiplicazioni, basterà applicare delle semplici regole.

Somma per differenza di monomi

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza si esprime nel seguente modo:

$(a+b) \cdot (a-b)$

Se provassimo a risolvere col metodo classico della moltiplicazione fra polinomi:

$a^2-ab+ab-b^2$

otteniamo come risultato finale

$a^2-b^2$

Possiamo dedurre quindi che il risultato di questa operazione restituisce sempre il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.

Esempio

$(2c^2+3)(2c^2-3)$

Come si vede ci troviamo nel caso di un prodotto notevole perchè sono moltiplicate la somma di due monomi per la differenza degli stessi. Il risultato possiamo ricavarlo molto rapidamente dalla regola della somma per differenza:

$(2c^2)^2-(3)^2$

$4c^4-9$

Quadrato di un binomio

Consideriamo il cosa di n binomio elevato al quadrato:

$(a+b)^2=$

$=(a+b)(a+b)=$

$=a^2+ab+ab+b^2=$

$=a^2+2ab+b^2$

Quindi un binomio al quadrato ha una formula risolutiva semplice cioè:

il quadrato del primo più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo

Esempio

$(\frac{1}{5}a^4b^2-3a)^2$

Per risolvere questo quadrato seguiamo la regola prima descritta:

$(\frac{1}{5}a^4b^2)^2+2\cdot(\frac{1}{5}a^4b^2)(-3a)+(-3a)^2$

$\frac{1}{25}a^8b^4-\frac{6}{5}a^5b^2+9a^2$

Quadrato di trinomio

$(a+b+c)^2$

Per risolvere rapidamente il quadrato del trinomio è necessario scrivere nel seguente modo l’espressione:

$[(a+b)+c]^2$

$(a+b)^2+2(a+b)c+c^2$

$a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2$

$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

La regola per eseguire un quadrato di trinomio è quindi la seguente:

Quadrato del primo termine più quadrato del secondo termine più quadrato del terzo termine più doppio prodotto del primo per il secondo termine più doppio prodotto del primo per il terzo termine più doppio prodotto del secondo per il terzo termine.

Esempio

Calcolare $(2x-y+z)^2$

I tre monomi che compongono il trinomio sono:

$a: (2x)$

$b: (-y)$

$c: (z)$

Quindi in definitiva applicando la regola:

$(2x)^2+(-y)^2+(z)^2+2(2x)(-y)+2(2x)(z)+2(-y)(z)$

$4x^2+y^2+z^2-4xy+4xz-2yz$

Cubo di un binomio

Calcolare il cubo del binomio $(a+b)$ (prodotti notevoli)

$(a+b)^3=$

$=(a+b)^2 (a+b)=$

$=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=$

$=(a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3)=$

$=(a^3+3ab^2+3a^2b+b^3)=$

La regola veloce da applicare quindi è la seguente:

Cubo del primo più triplo prodotto del primo al quadrato per il secondo più triplo prodotto del primo per il secondo al quadrato più cubo del secondo

Vediamo invece il procedimento per il calcolo di $(a-b)^3$

$=(a-b)^2 (a-b)=$

$=(a^2-2ab+b^2)(a-b)=$

$=(a^3-a^2b-2a^2b-2ab^2+ab^2-b^3)=$

$=(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)$

In questo caso la regola veloce da applicare quindi è la seguente:

Cubo del primo meno triplo prodotto del primo al quadrato per il secondo più triplo prodotto del primo per il secondo al quadrato meno cubo del secondo

Esempio

Risolvi $(3x-3)^3$