Studiare il segno della seguente funzione:
Questa funzione è una funzione irrazionale fratta in quanto la variabile indipendente (x) si trova al denominatore della funzione ed è sotto una radice.
Dominio
Il dominio della funzione si calcola escludendo tutti quai valori che annullano i due denominatori e che li rendono positivi (perchè ci sono due radici quadrate).
queste condizioni si possono scrivere anche nel seguente modo:
perchè consideriamo giustamente i valori dell’incognita che rendono il denominatore diverso da zero e che lo rendono anche maggiore di zero.
Questo sistema è verificato per i valori di x compresi tra -1 ed 1. Si prendono quindi i tratti continui del grafico (e non si fa il prodotto dei segni perchè non stiamo studiando il segno ma stiamo analizzando dei vincoli e delle condizioni). Il dominio sarà:
Segno
Studiare il segno vuol dire vedere quando la funzione è positiva e quando invece è negativa. Significa quindi risolvere la seguente disequazione:
Il denominatore di questa espressione è sempre maggiore di 0 perchè è una radice quadrata. Bisogna risolvere quindi la seguente espressione per determinare il segno.
Questa disequazione irrazionale si risolve elevando quadrato entrambi i membri e togliendo quindi le radici. Per far ciò però ci dobbiamo assicurare che il contenuto delle due radici sia sempre positivo.
La funzione è quindi positiva per tutti i valori di x maggiori di 0 e negativa per i valori precedenti come si vede dal grafico:
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