Studio del segno di una funzione – Esercizio 6
Studiare il segno della seguente funzione:
Questa funzione è una funzione irrazionale fratta in quanto la variabile indipendente (x) si trova al denominatore della funzione ed è sotto una radice.
Dominio
Il dominio della funzione si calcola escludendo tutti quai valori che annullano i due denominatori e che li rendono positivi (perchè ci sono due radici quadrate).
queste condizioni si possono scrivere anche nel seguente modo:
perchè consideriamo giustamente i valori dell’incognita che rendono il denominatore diverso da zero e che lo rendono anche maggiore di zero.
Questo sistema è verificato per i valori di x compresi tra -1 ed 1. Si prendono quindi i tratti continui del grafico (e non si fa il prodotto dei segni perchè non stiamo studiando il segno ma stiamo analizzando dei vincoli e delle condizioni). Il dominio sarà:
Segno
Studiare il segno vuol dire vedere quando la funzione è positiva e quando invece è negativa. Significa quindi risolvere la seguente disequazione:
Il denominatore di questa espressione è sempre maggiore di 0 perchè è una radice quadrata. Bisogna risolvere quindi la seguente espressione per determinare il segno.
Questa disequazione irrazionale si risolve elevando quadrato entrambi i membri e togliendo quindi le radici. Per far ciò però ci dobbiamo assicurare che il contenuto delle due radici sia sempre positivo.
La funzione è quindi positiva per tutti i valori di x maggiori di 0 e negativa per i valori precedenti come si vede dal grafico:
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Si ritiene utile informare che l’esercizio suddetto a mio avviso presenta un errore. Infatti lo studio del dominio prevede che il denominatore sia diverso da 0 e per effetto della radice anche che sia >= 0. Tuttavia quando si risolve il sistema in cui 1-x>0 quindi -x>-1 , nel moltiplicare tutto per -1 bisogna invertire anche il segno della disequazione, per cui viene x<1 e quindi il D sarà per -1<x 1, e sostituisco nel primo radicando, ottengo un numero negativo……impossibile.
Cordialità.
Se non erro quando si cambia il segno di -x > -1 moltiplicando appunto entrambi i membri per -1, cambia anche il verso della disequazione che quindi diventa: x<1 e stravolge tutto l'esercizio in quanto il dominio sarà non più da 1 a +oo ma sarà da -1 a 1
Grazie mille della collaborazione Nicola! Ho corretto il tutto.