Studio di funzione esponenziale – Esercizio 4

20 Novembre 2019 gpalmieri Funzioni

Studiare la seguente funzione esponenziale (studio di funzione esponenziale):

$f(x)=e^{\frac{x-1}{2x}}$

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta e anche esponenziale. Per il fatto che è una funzione fratta, dobbiamo imporre che il denominatore della frazione sia diverso da zero:

$2x \neq 0$

$x \neq 0$

Il numeratore non pone problemi per il dominio in quanto è un esponenziale sommato ad un valore numerico. Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

$D: (-\infty;0) \cup (0;+\infty)$

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

$\begin{cases}y=0\\ e^{\frac{x-1}{2x}}=0 \end{cases}$

L’esponenziale non può mai annullarsi quindi questa funzione non si interseca mai con l’asse delle x

Asse y

$\begin{cases}x=0\\y=e^{\frac{x-1}{2x}} \end{cases}$

Dovremmo risolvere questo sistema per sostituzione sostituendo al posto della x della seconda equazione il valore 0. Non procediamo e non facciamo questa operazione perchè sappiamo che il valore 0 non appartiene al dominio. Se procedessimo infatti troveremmo un denominatore nullo. Concludiamo che non ci sono intersezioni con l’asse y.

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

$e^{\frac{x-1}{2x}}>0$

Essendo la funzione un’esponenziale, questa non può mai essere negativa ed sempre positiva.

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

$\lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x-1}{2x}}$

$e^{\frac{(-\infty)-1}{2(-\infty)}}$

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

All’esponente della potenza c’è una forma indeterminata del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ Per risolvere questa forma mettiamo in evidenza la variabile x col grado maggiore (cioè $x^1$ ). Otteniamo:

$\lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x(1-\frac{1}{x}}{2x}} = e^{\frac{1}{2}}= \sqrt{e}$

2 Limite

$\lim_{x\to 0^{-}} e^{\frac{x-1}{2x}}=$

$e^{\frac{0^{-}-1}{2 \cdot 0^{-}}}$

$e^{\frac{-1}{0^{-}}}$

$e^{+\infty} = +\infty$

3 Limite

$\lim_{x\to 0^{+}}e^{\frac{x-1}{2x}}=$

$e^{\frac{0^{+}-1}{2 \cdot 0^{+}}}$

$e^{-\infty} = 0$

4 Limite

$\lim_{x\to +\infty} e^{\frac{x-1}{2x}}$

$e^{\frac{(+\infty)-1}{2(+\infty)}}$

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

$\lim_{x\to +\infty} e^{\frac{x(1-\frac{1}{x}}{2x}} = e^{\frac{1}{2}}= \sqrt{e}$

Dopo aver studiato i limiti possiamo tracciare il grafico qualitativo:

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

$\lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x(1-\frac{1}{x}}{2x}}=\sqrt{e}$

Quindi la retta $y=0$ è asintoto orizzontale.

E’ presente anche un asintoto verticale in quanto:

$\lim_{x\to 0^{-}} e^{\frac{x-1}{2x}}=+\infty$

Quindi la retta $x=0$ è asintoto verticale.

Derivata 1

$f(x)=e^{\frac{x-1}{2x}}$

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni composte:

$d[f[g(x)]] = f^{'}[g(x)] g^{'}(x)$

Nel nostro caso la $g(x)=\frac{x-1}{2x}$ per questo motivo deriviamo la $f(g(x))$ e poi la moltiplichiamo per la derivata di $g(x)$ :

$f^{'}(x)=e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{1 \cdot (2x)-(x-1) \cdot 2)}{4x^2}$

$f^{'}(x)=e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{2x-(2x-2)}{4x^2}$

$f^{'}(x)=..$

Dopo aver calcolato la derivata prima possiamo studiare il segno i particolari punti di stazionarietà (che si hanno per i valori di x che annullano la derivata).

$f^{'}(x) \geq 0$

$e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{2}{4x^2} \geq 0$

Per studiare questa derivata consideriamo i due fattori che la compongono in maniera separata per poi fare il prodotto dei segni:

$e^{\frac{x-1}{2x}} \geq 0$

Questo primo fattore è sempre positivo e mai nullo in quanto un esponenziale è sempre strettamente maggiore di zero.

$\frac{2}{4x^2} \geq 0$

Il secondo fattore è anche sempre positivo perchè al numeratore c’è un numero positivo e al denominatore un quadrato (sempre positivo). Inoltre dato che al numerato è presente solo un numero non si annulla mai quindi deduciamo che la derivata prima è sempre positiva e mai nulla. Ciò significa che la funzione è sempre crescente e non sono presenti punti di stazionarietà.

Derivata 2

$f^{'}(x)=e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{1}{2x^2}$

Per calcolare la derivata seconda applichiamo la regola del prodotto di due funzioni:

$f^{''}(x)=[e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{1}{2x^2} \cdot \frac{1}{2x^2} ]+[e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-2)x^{-3}]$

$f^{''}(x)=[e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot \frac{1}{4x^4} ]+[e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot -\frac{1}{x^{3}}]$

$f^{''}(x)=e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot (\frac{1}{4x^4} -\frac{1}{x^{3}})$

$f^{''}(x)=e^{\frac{x-1}{2x}} \cdot (\frac{1-4x}{4x^4})$

Come abbiamo fatto per la derivata prima studiamo il segno dei due fattori della derivata seconda e poi facciamo il prodotto dei segni separatamente. Il primo fattore $e^{\frac{x-1}{2x}}$ anche in questo caso è sempre positivo. Provvediamo quindi a studiare il secondo fattore: