Studio di funzione logaritmica – Esercizio 1

2 Dicembre 2019 gpalmieri Funzione Logaritmica

Studiare la seguente funzione logaritmica (studio di funzione logaritmica):

$f(x)=log(1+e^{\sqrt{3}x})$

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è logaritmica e anche esponenziale. Per il fatto che è una funzione logaritmica, dobbiamo imporre che l’argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di zero:

$1+e^{\sqrt{3}x} > 0$

$e^{\sqrt{3}x} > -1 \forall x \in R$

Per qualsiasi valore di x l’esponenziale sarà maggiore di -1 in quanto un esponenziale è sempre strettamente positivo. Il dominio coincide quindi con tutto l’insieme $R$ .

$D: (-\infty, +\infty)$

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

$\begin{cases}y=0\\ log(1+e^{\sqrt{3}x})=0 \end{cases}$

$log(1+e^{\sqrt{3}x})=0$

Per risolvere questa equazione logaritmica eleviamo entrambi i membri ad $e$

$e^{log(1+e^{\sqrt{3}x})}=e^0$

$1+e^{\sqrt{3}x}=1$

$e^{\sqrt{3}x}=0 \nexists x \in R$

perchè un esponenziale non si può annulare mai. Da ciò deduciamo che non ci sono intersezione con l’asse x.

Asse y

$\begin{cases}x=0\\y=log(1+e^{\sqrt{3}x}) \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\y=log(1+e^{\sqrt{3} \cdot 0}) \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\y=log(1+e^{0}) \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\y=log(1+1) \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\y=log(2)\end{cases}$

Abbiamo individuato un punto di intersezione con l’asse y nelle coordinate:

$P(0,log(2))$

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

$log(1+e^{\sqrt{3}x})>0$

$e^{log(1+e^{\sqrt{3}x})}>e^0$

$1+e^{\sqrt{3}x}>1$

$e^{\sqrt{3}x}>0 \forall x \in R$

La funzione è sempre positiva perchè un esponenziale è sempre positivo.

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

$\lim_{x\to -\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})$

$log(1+e^{\sqrt{3}(-\infty)})$

$log(1+0)$

$log(1)=0$

$\lim_{x\to -\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})=0$

2 Limite

$\lim_{x\to +\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})$

$log(1+e^{\sqrt{3}(+\infty)})$

$log(1+\infty)$

$log(+\infty)=+\infty$

$\lim_{x\to +\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})=+\infty$

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

$\lim_{x\to -\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})=0$

Quindi la retta $y=0$ è asintoto orizzontale.

Derivata 1

$f(x)=log(1+e^{\sqrt{3}x})$

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni composte:

$d[f[g(x)]] = f^{'}[g(x)] g^{'}(x)$

Nel nostro caso la $g(x)=1+e^{\sqrt{3}x}$ per questo motivo deriviamo la $f(g(x))$ e poi la moltiplichiamo per la derivata di $g(x)$ :

$f^{'}(x)=\frac{1}{1+e^{\sqrt{3}x})} \cdot e^{\sqrt{3}x} \cdot \sqrt{3}$

$f^{'}(x)=\frac{\sqrt{3} e^{\sqrt{3}x}}{1+e^{\sqrt{3}x}}$

Dopo aver calcolato la derivata prima possiamo studiare il segno i particolari punti di stazionarietà (che si hanno per i valori di x che annullano la derivata).

$f^{'}(x) \geq 0$

$N: \sqrt{3}e^{\sqrt{3}x} \geq 0 \forall x \in R$

$D: 1+ e^{\sqrt{3}x} > 0 \forall x \in R$

Essendo la derivata sempre positiva, la funzione è strettamente crescente. Inoltre il numeratore non si puà annulare mai quindi non sono presenti punti stazionari

Derivata 2

$f^{'}(x)=\frac{\sqrt{3} e^{\sqrt{3}x}}{1+e^{\sqrt{3}x}}$

Per calcolare la derivata seconda applichiamo la regola del rapporto di due funzioni:

$f^{''}(x)=\frac{(\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}\sqrt{3})\cdot(1+e^{\sqrt{3}x})-(\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x})\cdot(e^{\sqrt{3}x}\sqrt{3})}{(1+e^{\sqrt{3}x})^2}$

$f^{''}(x)=\frac{3e^{\sqrt{3}x}+3e^{2\sqrt{3}x}-3e^{2\sqrt{3}x}}{(1+e^{\sqrt{3}x})^2}$

$f^{''}(x)=\frac{3e^{\sqrt{3}x}}{(1+e^{\sqrt{3}x})^2}$

Come abbiamo fatto per la derivata prima studiamo il segno dei due fattori della derivata seconda e poi facciamo il prodotto dei segni separatamente:

$N: 3e^{\sqrt{3}x}> 0 \forall x \in R$

$D: (1+e^{\sqrt{3}x})^2> 0 \forall x \in R$

La derivata seconda è strettamente positiva e non si annulla mai perchè il numeratore è il prodotto fra un numero e un esponenziale (che non può essere mai) nullo. Essendo la derivata seconda strettamente positiva, la funzione rivolge la sua concavità verso l’alto. Il seguente grafico conferma quanto abbiamo studiato:

funzione logaritmica

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