Funzione fratta Esercizio

21 Febbraio 2020 gpalmieri Funzioni Razionali Fratte

Studiare la seguente funzione razionale fratta (studio di funzione fratta):

$f(x)=\frac{1}{2x+1}$

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta per questo dobbiamo escludere tutti i valori che annullano il denominatore in quanto una frazione non può avere un denominatore uguale a zero. Ciò corrisponde a questa espressione:

$2x+1 \neq 0$

$2x \neq -1$

$x \neq -\frac{1}{2}$

Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

$D: (-\infty;-\frac{1}{2}) \cup(-\frac{1}{2};+\infty)$

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

$\begin{cases}y=0\\ \frac{1}{2x+1}=0 \end{cases}$

Questa ultima equazione non è risolvibile in quanto per annullarsi una frazione dovrebbe essere nullo il numeratore (che non si può annulare mai perchè è 1).

Asse y

$\begin{cases}x=0\\ y=\frac{1}{2x+1} \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\ y=\frac{1}{2 \cdot 0 + 1} \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\ y=1 \end{cases}$

E’ presente un punto di intersezione: $P(0,1)$

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

$\frac{1}{2x+1}>0$

Essendo una frazione troviamo il segno del numeratore, poi quello del denominatore e infine effettuiamo il prodotto dei segni.

Per quanto riguarda il numeratore poichè è un numero non dobbiamo studiare il segno.

$D: 2x+1 > 0$

$2x > -1$

$x>1$

$x>-\frac{1}{2}$

La funzione è positiva da $--\frac{1}{2}$ fino a $+\infty$ .

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{2x+1}$

$\frac{1}{-\infty} = 0$

2 Limite

$\lim_{x\to -\frac{1}{2}^{-}} \frac{1}{2(-\frac{1}{2})+1}$

$\lim_{x\to -\frac{1}{2}^{-}} \frac{1}{0} = -\infty$

3 Limite

$\lim_{x\to -\frac{1}{2}^{+}} \frac{1}{2(-\frac{1}{2})+1}$

$\lim_{x\to -\frac{1}{2}^{+}} \frac{1}{0} = +\infty$

4 Limite

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{2x+1}$

$\frac{1}{+\infty} = 0$

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{2x+1} = 0$

Quindi la retta $y=0$ è asintoto orizzontale.

E’ presente anche un asintoto verticale:

$\lim_{x\to -\frac{1}{2}} \frac{1}{0} = \infty$

$x=-\frac{1}{2}$

Derivata 1

$f(x)=\frac{1}{2x+1}$

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni fratte:

$d[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f^{'}(x) g(x)-f(x)g^{'}(x)}{[g(x)]^2}$

$f^{'}(x) = \frac{0 \cdot (2x+1) - 1 \cdot (2)}{(2x+1)^2}$

$f^{'}(x) = -\frac{2}{(x^2-1)^2}$

Studiamo ora il segno della derivata prima per capire la monotonia della funzione ed individuare i sui punti stazionari:

$-\frac{2}{(x^2-1)^2} \geq 0$

La funzione non è mai positiva in quanto il numeratore è negativo e il denominatore è un numero sempre positivo perchè è un quadrato. Per questo possiamo concludere che la funzione è sempre decrescente e non esistono punti stazionari.

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